「データの見えざる手」の正規分布の図が一様分布に見えたのでRで試した

「データの見えざる手」は読んでいて、引っ掛かりまくりでした。

読んだかた、「U分布」ってピンときました？

どこで躓いたかというと、こんな感じでコンピュータシミュレーションの結果が紹介されていたのですが、上の「正規分布（ポアソン分布）」と書かれている図↓の見た目が一様分布っぽいんですよね。

正規分布（ポアソン分布）とU分布　（「データの見えざる手」より）

本文を見てみると、

コンピュータシミュレーションでこれを実行するには、玉の位置をランダムに生成すればよい。横方向の位置(x)を決める1～30の乱数と縦方向の場所(y)を決める1～30の乱数を発生させ、(x,y)の位置に玉を置くのだ。

とあります。う～ん、xとyを一様分布に従って発生させて2次元にプロットしている、ってだけだよなー。

・・・（考え中）・・・

で、しばらく考えてみて、やっと分かりました。こうやって発生させたデータだと、マスの中の点の個数が正規分布になるのね。

実際に、一つずつやってみましょう。

n <- 1000 # 点の個数
m <- 10   # マスの区切りの数

# 座標は一様分布で従って発生させ、プロット
x <- runif(n, min=0, max=m)
y <- runif(n, min=0, max=m)
plot(x, y, pch="・")

# マスを書く
abline(h=0:m)
abline(v=0:m)

一様分布で発生させた点（マス内の個数は正規分布になる）

はい、本に載っているのと似たような絵になりました。

マスに入る個数を調べるには、引数を越えない整数を返すceilingが使えますね。

> interaction( ceiling(x), ceiling(y), sep="," )
   [1] 4,1   9,3   10,1  1,5   3,1   1,6   8,1   8,3   10,6  5,7   2,6
  [12] 2,5   2,7   7,6   6,10  4,9   3,3   1,1   2,4   9,6   10,10 2,3
  ...

マスが、(1,1), (1,2), ..., (1,10), (2,1), ..., (10,10)のように100個あって、1つ目の点は(4,1)のマスに、2つ目の点は(9.3)のマスに入っている、という感じです。

集計します。

> table( interaction( ceiling(x), ceiling(y), sep="," ) )

  1,1   2,1   3,1   4,1   5,1   6,1   7,1   8,1   9,1  10,1   1,2   2,2
   11    13    13    13     8     3    11    12    13     6    11    12
  3,2   4,2   5,2   6,2   7,2   8,2   9,2  10,2   1,3   2,3   3,3   4,3
    4     5     6     8    12    10     6    13     8     8    18     9
  ...

(1,1)のマスには11個の点、(2,1)のマスには13個の点が入っているようです。

ヒストグラムにしてみると、

マス100個、点1000個で発生させた正規分布

う～ん、正規分布かぁ？

点とマスが少な過ぎたようです。

書籍に書いてあった数字でやってみましょう。

n <- 72000 # 点の個数
m <- 30    # マスの区切りの数
x <- runif(n, min=0, max=m)
y <- runif(n, min=0, max=m)
t <- table( interaction( ceiling(x), ceiling(y), sep="," ) )
hist(t)

マス900個、点72000個で発生させた正規分布

うん、正規分布っぽいですね。

で、つまり手の動きが一様分布に従って発生するならば、単位時間あたりに動いた回数は正規分布に従うのだろうけど、実際はそうではなかった、ということみたいです。

考えている時間、キーボードを打つ時間、座っている時間、歩いている時間などがあることを考えると、手の動きが一様に発生するわけないってのは、なんだか当たり前のような気がします。