「エレガントな問題解決」演習問題 2.1.27（ひっかけ問題）(c)の解答

いつもは、↓別のブログの方に載せていたのですが、

「エレガントな問題解決」演習問題 2.1.25の解答（分母が3つの項の積になっている数列の和）: 主張

今回はRを使うので、こちらのブログで。

「エレガントな問題解決」 P29 2.1.27（ひっかけ問題）(c)

偏りのないコインを投げて、表が3回以上出る確率が50%を超えるには、最低何回投げればよいだろうか。

自分が題意を理解できているのか、いまいち自信がありません。私は、ひっかかっているのか？

とにかく解答してみます。

コインを1回投げて、表が3回以上出ることは、もちろんありません。

なので、考慮に値するのは3回以上投げるケースから。

3回投げて、表が3回出る確率をRで求めてみると、

> (1/2)^3
[1] 0.125

なので、12.5%。これは50%を超えていませんね。

では、4回投げる場合。表が3回出る確率と、表が4回出る確率を足せばいいですね。

4回投げて、表が3回出る確率は、（Cは組み合わせの記号だと思ってください）

(1/2)^4 × 4C3

ですね。Rでは、組み合わせ数を求めるのにchooseコマンドが使えるので、

> (1/2)^4 * choose(4,3)
[1] 0.25

4回投げて、表が3回出る確率は、

> (1/2)^4 * choose(4,4)
[1] 0.0625

上記の2つを足しても、まだ50%は超えませんね。
いちいち足すのもまどろっこしいので、関数にしてみましょう。

#
# n回投げたときに、3回以上でる確率を返す関数
#
ProbMoreThan3 <- function(n){
  s <- 0    # 組み合わせ数の合計値格納用
  for(i in 3:n){
    s <- s + choose(n,i)
  }
  p <- 1/2^n * s
  return(p)
}

試しに呼んでみましょう。

> ProbMoreThan3(3)
[1] 0.125

> ProbMoreThan3(4)
[1] 0.3125

よさそうです。（エラー処理は入れていないので、2とか小数とか、そういうのを引数にするのは禁止ね）

じゃあ、いつ50%を超えるか、やっていきましょう。

> ProbMoreThan3(5)
[1] 0.5

> ProbMoreThan3(6)
[1] 0.65625

> ProbMoreThan3(7)
[1] 0.7734375

「確率が50%を超える」なので、正解は「6回」です。たぶん。

どのあたりが「ひっかけ」だったのでしょうか。

「3回以上」なのに、「ぴったし3回」の確率を求めしまうとか。

「50%を超える」なのに、50%になったとき（＝5回）を答えてしまうとか。

それとも、何か別のひっかかる要素があって、私もまんまとそれにひっかかっているとか。
謎は深まります。

が、考えても分かる気がしないので、時間つぶしにグラフでも書いてみましょう。

n <- 3:20
p <- sapply(n, ProbMoreThan3)
plot(n,p)
abline(h=0.5, lty=2)

n回投げて3回以上表が出る確率

初めの方でぐっと上がって、それから1に漸近していくような感じですね。